ブックタイトル日本結晶学会誌Vol62No1

概要

日本結晶学会誌Vol62No1

山崎裕一を最小化するf（r）を求めればよいことになる．このLASSOは第1項がフーリエ空間の残差であるのに対して，第2項は実空間のL1正則化項になっている．評価対象となる空間変数が異なっているので，このままでは解くことができない．そこで位相回復アルゴリズムと同様に反復的フーリエ変換によって最適化することを考える．n回目において得られたfn（r）に対して，位相回復アルゴリズムの証明で使った式（7）のようにパーセバルの定理を適用すると，f ( )? 12n+1= f' ( ) ? f ( )n+ f ( )?r arg min?r rλl nrl ?（11）f n ( r)? 221?という最小化問題に帰着される．ここで重要なのは，第1項が実空間変数に変換することで，各ピクセルごとに「独立した」最小化問題することができた点である．各ピクセルにおける式を簡単に書き直すと1 2y = ( a ? x) +λx（12）2図2ソフト閾値関数．（Soft thresh-hold function.）（a）y＝12（x－a）2＋λ|x|のグラフ（a＝0，1，1.5，2，λ＝1）．それぞれのaにおける最小値を与えるxを三角で示している．（b）ソフト閾値関数Sλ（x）のグラフ（λ＝1）．（a）はx min＝Sλ（a）で与えられる．を最小にするxを求める問題と同値になる．この関数は図2aのようなグラフで書け，場合分けとすることで簡単に最小値を求めることができる．最小値を与えるxは次のようなソフト閾値関数（図2b），Sλ?t?λ( t >λ)?[ t] = ?0 ( ?λ? t ?λ)（13）?t +λ( t < ?λ)?を使って，x min＝Sλ［a］で表すことができる．すると，式（11）の解はf min（r）＝Sλ［f'（r）］となる．f n'（r）の絶対値がハイパーパラメータλよりも小さければ0に設定し，大きければλだけ0に近づけると最小となるf n（r）を与えることになる．以上のように，位相回復アルゴリズムにL1正則化項を加えた最適化問題は，パーセバルの定理を使うことで回折データで更新したデータf n'（r）に対して，各ピクセルごとの最適化問題に再設定し，ソフト閾値関数で実空間像を更新することで評価関数を最適化することができる．3.3磁気スキルミオン可視化への適用スパースモデリングをスパースな計測対象となる例としてトポロジカルな特性を有する磁気スキルミオン（magnetic skyrmion）を磁気回折イメージングによって可視化することを例に示していく．磁気スキルミオンは図3aに示すような渦状の磁気構造体であり，物質によって数～数百nmの直径をもっている．空間反転対称性が破れたカイラル磁性体において見られ，試料の中に存在する磁気スキルミオンの密度は磁場と温度の環境に応じて変化する．密に存在する場合には三角格子（図3a）を形成し磁気散乱では六角形の磁気散乱が観測される．8）磁気スキルミオンの数が疎になり，電流などの外場印加によって磁気スキルミオンを移動させたり，生成・消滅といった制御が可能になる．その特性から磁気スキルミオンを情報媒体としたスピントロニクスデバイスへの応用が期待されている．9）ここでは磁気スキルミオンが疎に存在するときのコヒーレント回折磁気イメージングについて考える．格子を形成しているときには並進対称性のため磁気散乱が強く観測されるが，疎になると磁気散乱はブロードになり回折強度は弱くなってしまい，ノイズの影響を大きく受けることになる．磁気スキルミオンの数が疎であることを事前情報として活用し，L1正則化を適用した位相回復アルゴリズムを考える．10）その場合，試料が存在するサポート領域内（∈S）ほとんどの領域で磁場と同じ方向にスピンが向いていて，磁気スキルミオンの内部では外側から中心に向かってスピンが回転しながら逆方向を向いていく．スピンが磁場と同じ方向を向いているときの透過波動場f（r）をf↓と書くとすると，サポート内（∈S）ではf（r）－f↓がスパースな量であることになる．一方で，サポート外（?S）では軟14日本結晶学会誌第62巻第1号（2020）