ブックタイトル日本結晶学会誌Vol58No4

概要

日本結晶学会誌Vol58No4

二次元および三次元ネットワークのトポロジー分析とその表記法Schlafli表記：｛p｝/｛p，q｝/｛p，q，r｝vertex表記：A.B.C…（二次元）/A a.B b.C c…（三次元）point表記：A a .B b .C c…face表記：［A a .B b .C c…］しかし，表記法による定義の違いが非常に複雑であるために，さまざまな誤解が生じている．それゆえ，それらを正しく理解した上で併用することが望ましい．なお，先に示した表記法は括弧の有無や括弧の種類「（）丸括弧，｛｝波括弧，［］角括弧」および数字の「上付き」「下付き」さらに区切りに用いられている「，（カンマ）」「．（ドット）」に至るまで厳密に定まっている．なお，「･（中点）」は使用されない．前述したように，現在は先の4種類の表記法の併用が主流ではあるが，それらが定着するまで（2000年以前）はA. F. Wellsが提唱した表記法（n，p）も広く用いられていた．しかしWellsの表記法は一種類の交点のみで構成されるネットワークにしか適用できなかったため，複雑な構造の表記には適用されなかった．近年，構造の複雑化とともにあらゆる構造にも適用される表記法が必要とされたため，現在はWellsの表記法が使用されることはなくなったが，その考え方はいずれの表記法を理解する上でも基本となるので，本解説ではWellsの表記法から始めることとする．また，過去の論文を引用する際にも役立つであろう．ただし，近年の論文では複雑なトポロジー分析を避けて，交点のつながりの数p，qだけを示した（p，q）-connected型ネットワークあるいは（p，q）-c netと記載されるケースも多く，Well表記と混同されがちであるので注意が必要である．3.2.1 Wells表記：（n，p）1種類の交点のみで構成されるネットワークの表記に適しており，以下の定義に従っている．1），15）（i）nは任意の交点から出発して戻ってくるまでの最短経路中の交点の数を表す．（ii）pは任意の交点と連結した隣り合う交点との連結の数を表す．（iii）任意の交点からのp（p?1）/2通りのすべての最短経路が通過する交点の数がnでなければならない．（iv）同一の（n，p）によって2種類以上のネットワークが表記可能である場合は，順に（n，p）?a，（n，p）?b，（n，p）?cとする．例を図4に示した．図4aは任意の点から出発して戻ってくるまでの最短経路が6個の交点を通過しており（n＝6），任意の点と隣り合う点を連結する辺の数が3である（p＝3）．また，任意の点から最短経路で戻ってくるルートは3通り存在し，いずれも6点を通過する．それゆえ，図4aのネットワークはWells表記で（6，3）と表記される．比較のために図4bを示した．図4bは見かけ上長方形が敷き詰められているため勘違いされやすいが，Wellsの定義（i）～（iii）に注意深く従うとそのWells表記で（6，3）となり図4aと同一のトポロジーであることがわかる．以上の例から，トポロジー表記に重要なのはネットワークの形状ではなく，点と点の連結の仕方であることがわかる．次に正方形が敷き詰められたネットワーク図4cについて考察を行う．定義（i）と（ii）に従うと，（4，4）という表記と一見考えられる．しかし，隣り合う交点とのつながりを4つ有する任意の交点（p＝4）から出発して戻ってくるルートは計6通り（＝（4×3）/2通り）考えられ，そのうちの4通り（出発と終着の角が90°）は最短経路n＝4となる一方，残りの2通り（出発と終着の角が180°）は最短経路のn＝4とはならないため，（iii）を満たしていない．それゆえ，このネットワークはWellsの表記を適用することはできないため，別の表記法の使用が必要となる．3.2.2 Schlafli表記：｛p｝，｛p，q｝，｛p，q，r｝｛p｝，｛p，q｝，｛p，q，r｝は一次元の円，二次元の面，三次元の空間を，それぞれ長さが等しい線分，正多角形，正多面体で敷き詰めたネットワークに適用される表記である（図5）．｛p｝：円周をp個の等しい辺で敷き詰める，すなわち正p角形を示す．｛p，q｝：q枚の正p角形が1つの頂点を共有している模様を示す．正多面体および正平面充填形模様に適用される．例えば正四面体は1つの頂点を3枚（q＝3）の正三角形（p＝3）が共有しており｛3，3｝，立方体では1つの頂点を3枚（q＝3）の正四角形（p＝4）が共有している｛4，3｝．図4Wells表記の例（a）（6，3），（b）（6，3），（c）Wells表記では表記されない．（Examples of Wells symbols（a）（6，3），（b）（6，3），（c）Wells symbol cannot beapplied for the net.）図5正多面体のSchlafli表記．（Schlafli symbols for regularpolyhedrons.）日本結晶学会誌第58巻第4号（2016）161