ブックタイトル日本結晶学会誌Vol59No5

概要

日本結晶学会誌Vol59No5

ネスポロマッシモg i｛1｜000｝g- 1 i＝｛1｜000｝，∀3 g i→G｛1｜000｝G -1＝｛1｜000｝次に2回回転操作を考えてみよう．｛1｜pqr｝｛2 001｜000｝｛1｜pqr｝-1＝｛2 001｜2p2q0｝｛2 001｜pqr｝｛2 001｜000｝｛2 001｜pqr｝-1＝｛2 001｜2p2q0｝｛2 010｜p＋?q＋?r｝｛2 001｜000｝｛2 010｜p＋?q＋?r｝-1＝｛2 001｜2p＋1,2q＋1,0｝｛2 100｜p＋?q＋?r｝｛2 001｜000｝｛2 100｜p＋?q＋?r｝-1＝｛2 001|2p＋1,2q＋1,0｝｛1｜pqr｝｛2 001｜000｝｛1｜pqr｝-1＝｛2 001｜2p2q0｝｛m 001｜pqr｝｛2 001｜000｝｛m 001｜pqr｝-1＝｛2 001｜2p2q0｝｛m 010｜p＋?q＋?r｝｛2 001｜000｝｛m 010｜p＋?q＋?r｝-1＝｛2 001｜2p＋1,2q＋1,0｝｛m 100｜p＋?q＋?r｝｛2 001｜000｝｛m 100｜p＋?q＋?r｝-1＝｛2 001｜2p＋1,2q＋1,0｝上記の結果をまとめると以下の結論が得られる．G（｛1｜000｝，｛2 001｜000｝）G -1＝（｛1｜2p,2q,0｝，｛2 001｜2p＋1,2q＋1,0｝）これらの席対称群は，p，q，zとp＋?，q＋?，z（p，q整数）を不変（安定）にし，同じワイコフ位置に属する．特に，S（00z）とS（??z）はPbamの共役部分群であるため単位胞内の位置は00zと??zは同一のワイコフ位置に属するが無限個の4e位置の代表に過ぎない．同様にS（?0z）を分析すると以下の結果が得られる．G（｛1｜000｝，｛2 001｜?00｝）G -1＝（｛1｜2p＋1,2q,0｝，｛2 001｜2p,2q＋1,0｝）これらの席対称群はp＋?，q，zとp，q＋?，z（p，q整数）を不変（安定）にし，同じワイコフ位置に属する．特に，S（?0z）とS（0?z）はPbamの共役部分群であるため単位胞内の位置の?0zと0?zは同一のワイコフ位置に属するが無限個の4f位置の代表に過ぎない．本稿第2章で，「モノ（object）の変換は直接に写像で変換するのに対して，そのモノ（object）の対称性は写像により共役する」と強調した．Pbamの投影をみてみよう．00zと??zという位置は複数のPbamの対称操作で関連付けられている（b?，y，z；ax，?，z；2 1 x，?，z；2 1 ?，y，z）．S（00z）とS（??z）はこれらの対称操作で共役される．同様に，?0zと0?zという位置も同じPbamの対称操作で関連付けられ，S（?0z）とS（0?z）はこれらの対称操作で共役される．しかし，00zと?0z位置を関連付けるPbamの対称操作が存在しないためS（00z）とS（?0z）はPbamの共役部分群ではない．その結果，これらの位置は4eと4fという別のワイコフ位置に属する．＊3∀という記号は「すべての」という意味を示している．6．正規化群あるモノ（object）（M）にユークリッド写像を適用するとMは変形しないが固定の基底に対する位置・方向は変化する．ユークリッド写像は群（E）を形成し，その群はユークリッド群という．Mの対称操作はユークリッド写像でもあるのでMの対称操作群GはEの部分群である．EのMへの影響は以下のように表現できる．EM＝M'；GM＝M；G'M'＝M'；G'＝EGE -1M'はMに適用したユークリッド写像の結果である．GとG'はそれぞれMとM'の対称操作群であり，Eの共役部分群である．GとG'は同じタイプなのだが，一部の対称要素の位置・方向が異なるため，同じ群ではない．GとG'が一致するならGはEの正規部分群なのだが，Eはすべてのユークリッド写像でできているのでEに対するGの指数は大きくて，正規部分群にならない．しかし，GとEの間に必ず別の群が存在し，その群に対するGは正規部分群である．その群はユークリッド正規化群（Euclideannormalizer）といい，NE（G）と表示されている．上記の関係をNE（G）で書き直してみよう．N E（G）M＝M'；GM＝M；G'M'＝M'；G'＝NE（G）GN E（G）-1＝GMとM'が結晶構造の場合，Gはその空間群である．同じ空間群なので結晶構造も同じだがMとM'は同一という訳ではない．しかし，MとM'の相違はただの記述の差に過ぎない．簡単な具体例を挙げてみよう．CsClはPm3m空間群タイプに結晶化する．Csを原点（ワイコフ位置1a）に置くClは???（ワイコフ位置1b）に置ける．CsとClの位置を置換すると構造は同じだが構造の記述は変わる．無限の構造（少なくとも，いくつかの単位胞）を見るとその相違は見えないが1個の単位胞だけ見ると別物に見える．なお，G＝Pm3mのユークリッド正規化群N E（G）はIm3m（基底は共通）である．NE（G）をGにおける剰余類を考えると以下の結果が得られる（GはNE（G）の正規部分群なので左剰余類と右剰余類は一致する）．Im3m＝Pm3m∪t（???）・Pm3mt（???）はPm3mの追加生成元であり，同時にCsとClを置換する写像である．一般化すると，NE（G）におけるGの指数はGに結晶化する構造の等価な記述の数である．例えば，wulfingiteZn（OD 2）はP2 12 12 1に結晶化する．P2 12 12 1のユークリッド正規化群はPmmm（a/2，b/2，c/2）である．NE（G）におけるGの指数は16であるのでwulfingiteの16個の等価な記述ができる．これらは座標は異なるが完全に同じ構造である．220日本結晶学会誌第59巻第5号（2017）