ブックタイトル日本結晶学会誌Vol59No5

概要

日本結晶学会誌Vol59No5

点群，空間群の部分群2回回転軸の位置が変わる理由は［001］は第3対称方向になるからである．図3ウは，P2.mmの投影図である．晶系が下がった上に単位胞は慣用ではなくなった．実は，P4mmから引き継がれた単位胞（aとbベクトルで示したもの）の辺は対称方向（［110］と［110］で示したもの）と一致しない（左）．慣用単位胞を得るために軸の変換が必要であり，aとbベクトルを対称方向に直さなければならない（図3ウ右）．その結果，単位胞はCとなり（図3エ），元のg映進面はaとb映進面となる．結局，空間群のヘルマン・モーガン記号はCmm2となる．変換行列はa－b，a＋b，cである．格子変換に対する行列式は2だが，P→C単位胞の変更もあるから並進操作は変わっていない．次に，位数2のk-部分群を考えよう．すべての空間部分群は同じ4mm幾何的結晶類の属する．図4アに，P4mmの一般位置（左）および対称要素の投影（右）を示す．すべての原子は同じz座標をもっている．同じ構造を2倍のc軸で表現するとすべての原子は＋，?＋というz座標をもつことになる．例えば，元のa，b，c単位胞のz座標は0.30だとすると，a，b，2c単位胞でのz座標は0.15と0.65となる．この段階では同じ構造をより大きな単位胞を表現しただけである．今度はこのより大きな単位胞で半分の原子を削除する．残存する原子のz座標をすべて＋にすると同型部分群P4mmが得られる．残存する原子の半分はz座標は＋，残りの半分は?＋とすると3つのk-部分群を得る．図4イはP4 2cm，図4ウはP4cc，図4エはP4 2mcである．しかし，上記の導き方は直感的であり，より複雑な基底の変換の場合は限界がある．部分群を導くために一般（ア）的なアプローチが望ましい．その場合は対称操作の行列表現が助けてくれる．P4mmの対称操作をサイツ記号で表現すると，無限の操作を有限のパラメトリック記号で表現することができる．P4mmの対称操作は以下のように書ける．｛1｜pqr｝，｛2 001｜pqr｝，｛4＋001｜pqr｝，｛4 - 001｜pqr｝，｛m 100｜pqr｝，｛m 010｜pqr｝，｛m 110｜pqr｝，｛m 110｜pqr｝＝P4mmP4mmの慣用単位胞はPなのでp，q，rはすべて整数である．なお，t-部分群を得るにはすべてのp，q，r並進が保存される必要がある．その反面一部の点群操作しか残らない．P4mmのt-部分群のツリーは4mm点群の部分群のツリーににてしまう．｛1｜pqr｝，｛2 001｜pqr｝，｛4＋001｜pqr｝，｛4 - 001｜pqr｝＝P4｛1｜pqr｝，｛2 001｜pqr｝，｛m 100｜pqr｝，｛m 010｜pqr｝＝P2mm.＝Pmm2｛1｜pqr｝，｛2 001｜pqr｝，｛m 110｜pqr｝，｛m 110｜pqr｝＝P2mm.＝Cmm2｛1｜pqr｝，｛2 001｜pqr｝＝P2｛1｜pqr｝，｛m 100｜pqr｝＝P.m.＝Pm｛1｜pqr｝，｛m 010｜pqr｝＝P.m.＝Pm｛1｜pqr｝，｛m 110｜pqr｝＝Pm..＝Cm｛1｜pqr｝，｛m 110｜pqr｝＝Pm..＝Cm｛1｜pqr｝，＝P1k-部分群を得るために一部のp，q，r並進しか保たないが，すべての点群操作を利用する．残存するp，q，r並進によって部分群の指数は2，3，4，5…となり，無限の可能性がある．以下にいくつかの例を示す2rは偶数の並進（0，2，4…），2r＋1は奇数の並進（1，3，5…）とする．（ウ）（イ）（エ）図4 ab2cという基底の変換によるP4mmのk-部分群．（ア）P4mm．（イ）P4 2cm．（ウ）P4cc．（エ）P4 2mc．日本結晶学会誌第59巻第5号（2017）215