ブックタイトル日本結晶学会誌Vol59No5

概要

日本結晶学会誌Vol59No5

点群，空間群の部分群GHG -1＝H→GH＝HG→∪ig iH＝∪iHg i（7）（ア）式（7）と式（1）～（2）を比較すると正に正規部分群の定義となる．なお，式（6）で2つ以上の部分群H kを得る場合はHの同型群である別のGの部分群が存在し，それらはHと共役関係をもつ．IIII演習問題5 4mmの群・部分群ツリーを描いて，正規部分群か共役部分群か判別せよ．I：第1種対称操作II：第2種対称操作図2はモノ（object）とモノの対称性への等長写像の影響を示している．図2アでは8匹の猫群れが4mmという対称性に従って図示されている（高さを変える操作が4mmに含まれていないのですべての猫は同じ高さにいる）．同色（白か黒）の猫は第1種，異色の猫は第2種対称操作で関連付けられている．図2イに4mmから4への対称性の低下により8匹の猫群れは2つの4匹猫群れに分けられた．4という点群は第1種対称操作しか含まないため各群れに同色の猫しか残らない．黒猫の群れと白猫の群れは第2種写像で関連付けられ，これらの写像は4mmにおける4という点群の剰余類に属するものである．これらの操作は4mmでは対称操作なのに対して4ではそうでなくなるのでこの相違を強調するために「写像」という呼称を利用する．なお，モノ（猫群れ）とモノの対称性の違いを考えよう．｛1，4 1，4 2＝2，4 3｝黒猫＝黒猫；｛1，4 1，4 2＝2，4 3｝白猫＝白猫m｛1，4 1，4 2＝2，4 3｝m -1＝｛1，4 1，4 2＝2，4 3｝（イ）（ウ）剰余類２2 0,0,m x,0剰余類３4 + 0,0 ,m x,x4 - 0,0 ,m x,x剰余類４剰余類３ここでmは4mmに属するどの鏡映面でも成立という意味で使っている．黒猫の群れと白猫の群れを関連付ける写像を利用し，その群れの点群を共役すると点群は変わらない．これはすなわち正規部分群の定義である．実は4mmにおける4の左剰余類と右剰余類は同じであることを思い出せば（表2・3）上記の結果が得られる．図2ウに示すように4mmから.m［100］.への対称性の低下により8匹の猫群れは4つの2匹の猫群れに分けられる．mという点群は第1種対称操作および第2種称操作を両方含むため各群れには異色の猫が存在する．.m［100］.に属しない写像は剰余類に属するものである．4つのモノ（猫群れ）はそれぞれ異なり，モノの対称性は2種類ある：.m［100］.と.m［010］.これらの点群はそれぞれ2回（2つの猫群れ）現れる．これらの点群は4mmにおける共役部分群である．剰余類の操作は部分群を共役する写像なのでHiとH kは同型群であり「別の場所で同じことをする」．同型群をもつモノ（object）MiとMkは厳密な関係をもっている剰余類２図2（ア）4mmの操作で関連付けられている猫の群れ．同色の猫は第1種，異色の猫は第2種対称操作で関連付けられている．（イ）対称性が4に低下すると8匹の猫群れは2つの4匹の同左右性の猫群れに分けられる．両方の群れは同じ対称性をもつ．4は4mmの正規部分群である．（ウ）対称性が.m.に低下すると8匹の猫群れは4つの2匹の異左右性の猫群れに分けられる．上の群れはm［100］という対称性を示すのに対して下の群れはm［010］という対称性をもつ．これらの群は4mmの共役部分群である．はずである．MiとMkの関係については，下記の空間群の部分群を紹介してから議論する．演習問題の解答はJ-Stageに付録として掲載してあります．日本結晶学会誌第59巻第5号（2017）213