ブックタイトル日本結晶学会誌Vol59No5

概要

日本結晶学会誌Vol59No5

点群，空間群の部分群今度は.m.と..mという記号はそれぞれ2つの群に相当する．最後に，指数8（位数1）の部分群が1つしかなく，恒等操作だけでできている：1＝｛1｝という点群である．4mmをその部分群に分割するために積表（表1）を利用する．分割の一般式は以下のようになる．G＝H∪g 2H∪g 3H∪g 4H…＝∪ig iH＝∪iL C i（g1＝1）左剰余類（1）G＝H∪Hg 2∪Hg 3∪Hg 4…＝∪iHg i＝∪iR C i（g1＝1）右剰余類（2）C iはi番目の剰余類（C1＝H），g 1は恒等操作，g2はHに含まれないGの操作，giはC1，C2…C i-1に含まれないGの操作である．L CとR Cは左と右剰余類である．（1）と（2）において，CはGの分割なのでCiとCj≠iの剰余類は共通の元をもたない．なお，一般に左剰余類の分割と右表1 4mmの（乗）積表（ケイリー表）124 14 3m［100］m［000］m［110］m［110］1124 14 3m［100］m［010］m［110］m［110］2214 34 1m［010］m［100］m［110］m［110］4 14 14 321m［110］m［110］m［010］m［100］4 34 34 112m［110］m［110］m［100］m［010］m［100］m［100］m［010］m［110］m［110］124 34 1m［010］m［010］m［100］m［110］m［110］214 14 3m［110］m［110］m［110］m［100］m［010］4 14 312m［110］m［110］m［110］m［010］m［100］4 34 121剰余類の分割は一致しない．一致する場合はHは，Gの正規化群（normal subgroup，invariant subgroup）といい，H?Gという記号で表示する．4mmの分割結果を表2（左剰余類）と表3（右剰余類）に示す．例えば表2の2行目は，g 2＝m［100］の場合に，4mm＝1・｛4｝∪m［100］・｛4｝＝1・｛1，2［001］，4［001］，4 1［001］｝∪m 3［100］・｛1，2［001］，4［001］，4 1［001］｝3＝｛1，2［001］，4 1［001］，4 3［001］｝∪｛m［100］，m［010］，m［110］，m［110］｝と読み，そして表3の2行目では，4mm＝｛4｝・1∪｛4｝・m［100］＝｛1，2［001］，4［001］，4 1［001］｝・1∪｛1，2 3［001］，4［001］，4 1［001］｝・3 m［100］＝｛1，2［001］，4［001］，4 1［001］｝∪｛m 3［100］，m［010］，m［110］，m［110］｝と読む．H＝4，2mm. 2.mm，2および1の場合は左あるいは右から行った結果は同じなのでこれらの群は4mmの正規化群である．一方，残りの4つの部分群はGの正規化群ではない．実際表2および表3では，剰余類3と4に属する鏡映操作は左剰余類と右剰余類は逆になっている．これは意味深い差なので少し詳しく考えてみよう．演習問題2指数2の場合は，HはGの正規化群であることを示せ．演習問題の解答はJ-Stageに付録として掲載してあります．表2 4mm点群の左剰余類の分析LC 1＝HLC 2＝g 2HLC 3＝g 3HL C 4＝g 4HL C 5＝g 5HL C 6＝g 6HL C 7＝g 7HL C 8＝g 8H4mm4m［100］，m［010］，m［110］，m［110］2mm.4 1，4 3，m［110］，m［110］2.mm4 1，4 3，m［100］，m［010］m［100］，m［110］，2 4 1，4 3 m［010］m［110］.m［100］.2，m［010］4 1，m［110］4 3，m［110］.m［010］.2，m［100］4 1，m［110］4 3，m［110］.m［110］.2，m［110］4 1，m［010］4 3，m［100］.m［110］.2，m［110］4 1，m［100］4 3，m［010］124 14 3.m［100］..m［010］..m［110］..m［110］.表3 4mm点群の右剰余類の分析RC 1＝HRC 2＝Hg 2RC 3＝Hg 3RC 4＝Hg 4RC 5＝Hg 5RC 6＝Hg 6RC 7＝Hg 7RC 8＝Hg 84mm4m［100］，m［010］，m［110］，m［110］2mm.4 1，4 3，m［110］，m［110］2.mm4 1，4 3，m［100］，m［010］m［100］，m［110］，2 4 1，4 3 m［010］m［110］.m［100］.2，m［010］4 1，m［110］4 3，m［110］.m［010］.2，m［100］4 1，m［110］4 3，m［110］.m［110］.2，m［110］4 1，m［100］4 3，m［010］.m［110］.2，m［110］4 1，m［010］4 3，m［100］124 14 3.m［100］..m［010］..m［110］..m［110］.日本結晶学会誌第59巻第5号（2017）211