ブックタイトル日本結晶学会誌Vol59No2-3

概要

日本結晶学会誌Vol59No2-3

空間群のヒエラルキーと分類る．共型群に点群と同型の席対称群が存在するためその位置の周りに一般形態の双対多面体が形成される．非ソンケ群の場合は席対称群の対称操作は半分が第1種，残りは第2種であるので多面体の原子に左右性を当て嵌めると半分は「左」，残りは「右」と呼称する（InternationalTables for Crystallographyでコンマあり・コンマなしで区別される）．非共型群ではその多面体は2つ以上に分けられてしまう．半共型群の場合は2つになり，これの部分多面体は第2種対称操作に関連付けられているのでキラル多面体である．異共型群の場合はそれ以上の多面体の数になる（席対称群の位数がさらに低下する場合）かアキラル多面体になる．図3は具体的な例を示す．（ア）mmm点群のステレオ投影．左：対称要素．右：一般形態の斜方両錐体のステレオ極．（イ）Pmmm共型空間群タイプの一般位置．mmmという席対称性をもつ原点の周りに8個の原子が斜方両錐体の双対多面体を形成する．この多面体を形成する原子の左右性を色で区別すると半分は白，残りの半分は黒となる．（ウ）Pnnn半共型空間群タイプの一般位置．222の席対称性をもつ原点の周りに4個の原子（黒）が斜方両?体を形成する．また，単位胞の中心の周りに同じ多面体（白）が形成されるがこの2つの多面体は第2種対称操作（色，すなわち左右性を変更する操作）で関連付けられている．（エ）．Pmna異共型空間群タイプの一般位置．原点の席対称性は.2/m.である．半共型群に比べて席対称群の位数は同じなのでこの場合でも元（共型群）の多面体は2つに分けられるがそれぞれ白原子も黒原子も存在する．（オ）．Pcca異共型空_間群タイプの一般位置．原点の席対称性は1である．元（共型群）の多面体は4つに分けられる．3．群の分類これまでの分析で群のヒエラルキー（種類）を説明した．これからは群の分類を説明する．上記の例えを再利_用すると「モノ（object）」から「箱」に移る．図4は42mという点群タイプを共通する空間群タイプの結晶類への分類を示す．3.1代数的結晶類代数的結晶類（arithmetic crystal class）は最も詳細な分類である．同じ点群タイプと同じ格子型をもつ結晶構造や空間群タイプは同一の代数的結晶類に属する．＊7代数的結晶類は共型空間群タイプと一対一対応である．混乱を避けるために，代数的結晶類の記号に格子型の記号は点群の記号の後ろに記載する．例えば，P2/m，P2 1/m，P2/cおよびP2 1/cという4つの空間群タイプは同じ点群タイプ（2/m）と同じ格子型＊7文献1）で説明したように，厳密にいうと「単純」，「底心」，「体心」などの「格子型」は「その格子の慣用単位胞」の省略した表現である．日本結晶学会誌第59巻第2・3号（2017）_図4空間群タイプの結晶類への分類の例．4 2mという点群に相当する12個空間群タイプは4つの代数的結晶類と2つの高調結晶類に分類される．幾何的結晶類は点群と一対一対応するので12個の空間群タイプはすべて同一の幾何的結晶類に属する．（mP：単斜基本格子）をもつため2/mPという代数的結晶類に分類する．この記号で共型空間群タイプのP2/mと混乱することはない．また，C2/mおよびC2/cという2つの空間群タイプは同じ点群タイプ（2/m）と同じ格子型（mC：単斜底心格子）をもつため2/mCという代数的結晶類に分類する．点群が同じであっても格子型は異なるため別の代数的結晶類に分類される．代数的結晶類の数は共型空間群タイプの数と同じ，二次元と三次元空間ではそれぞれ13個と73個である．演習問題2三次元空間の代数学的結晶類73個を記載してみよう．3.2高調的結晶類高調的結晶類（harmonic crystal classes）は現在はInternational Tables for Crystallography 3）に採用されていないがSouvignier 10）によって提唱されたものである．同じ格子型と同じ点群タイプあるいは空間中での対称要素の方向だけで異なる点群タイプという空間群タイプは_ _同じ高調的結晶類に分類される．例えば，P42mとP4m2_ _の空間群タイプは同じ正方基本格子をもち，4 2mと42mという点群で異なるが前者を［001］方向で45度を回転すれば後者に変換する．従って，上記の空間群タイプは_42mPという高調的結晶類に分類される．高調的結晶類の記号は代数的結晶類と同じだがその数は二次元と三次元空間ではそれぞれ12個と66個に低下する．演習問題3てみよう．三次元空間の高調的結晶類66個を記載し3.3ブラベー類格子の点群タイプに相当する5個（二次元空間）と14個（三次元空間）の代数的結晶類があり，それらはブラベー演習問題の解答はJ-Stageに付録として掲載してあります．57