ブックタイトル日本結晶学会誌Vol59No2-3

概要

日本結晶学会誌Vol59No2-3

空間群のヒエラルキーと分類れる．二次元と三次元空間ではそれぞれ17個と230個の空間群タイプが存在するが三次元空間ではそれらを結晶空間群タイプ（crystallographic space-group type）という．同様に，ブラベー格子の定義に格子定数も含まれているのでその数は無限である．格子定数を考慮しないと5個（二次元空間）と14個（三次元空間）のブラベー格子型が得られる．なお，格子型（lattice type）と格子系（lattice system）の相違にも注意すべきである．2.2席対称群空間中のすべてのx，y，z座標（原子位置）は各空間群タイプでのワイコフ位置（Wyckoff position）に分類される．各ワイコフ位置に空間群の対称操作で等価な無限個の原子位置が属する．ITA 3）では慣用単位胞内の原子位置しか表示されず，その数は多重度（multiplicity）と呼称するが，並進操作も適用すると同じワイコフ位置に属する無限個の原子位置が得られる．前述のように，対称操作は（W，w）という行列・ベクトルペアで表現し，ベクトルwは位置に依存するw loc（location，位置）と要素に平行な操作の並進w intr（intrinsic，本質）で形成される．原子位置の席対称群（site-symmetry group）＊4はその位置を固定（不変に）する空間群の部分群であり，その対称操作はすべてw intr＝0をもち，（W，w loc）で表現する．一般ワイコフ位置に属する原子位置の席対称群は恒等操作しか含まないが特殊ワイコフ位置に属する原子位置の席対称群はそれ以外の操作も含む．P2221（17番，図2（ア））のワイコフ位置は表1に表示されている．2aの特殊ワイコフ位置を分析してみよう．（x，0，0）位置を固定（不変に）する対称操作は以下のとおりである．? 1 0 0 0??x?? x?? 1 0 0 0??x?? x?? ??? ? ? ? ??? ? ?( I) ? 0 1 00=0; ( II)? 0 1 00=0??0 0 1 0????0??? ? 0??? ? 0 0 1 0????0??? 0?? ?（I）は恒等操作，（II）はa軸に平行な2回回転操作である．（II）の対称要素は原点を通るので2x，0，0という記号で表現する．この2つの操作の線型部分のみ取り出すと点群操作を得るが並進部分（この場合はゼロ）も存在するので，これは同型空間群（isomorphic）でもある．これらは位数2のP222 1部分群を形成し，「席対称群」という．席対称群の操作は点群操作と同型なので席対称群も2という点群と同型群（isomorphic group）である．次に（x _，0，?）位置に上記の操作を適用すると以下の結果となる．? 1 0 0 0??x?? x?? 1 0 0 0??x?? x?? ??? ? ? ? ??? ? ?( I) ? 0 1 0 0??0?= ? 0?;( II)? 0 1 0 0??0?= ? 0??? 0 0 1 0??? ?????? 0 0 1 0???????? ? ? ? ? ??? ? ?（II）の操作は（x _，0，?）を固定せずに（x _ _，0，?）に関連＊4代数学では安定群（stabilizer）という．日本結晶学会誌第59巻第2・3号（2017）（ア）（イ）図2（ア）P222 1と（イ）C222 1空間群タイプのc軸に沿った表1対称要素の投影（文献3）より，国際結晶学連合の提供）．P222 1（17番）空間群タイプのワイコフ位置．席対称群と座標．多重度ワイコフレター席対称群座標4e1（x，y，z）（x_，y_，z＋?）（x_，y，z_＋?）（x，y_，z）2d.2.（?，y，?）（?，y_，?）2c.2.（0，y，?）（0，y_，?）2b2..（x，?，0）（x_，?，?）2 a 2..（x，0，0）（x _，0，?）付けるのでこの操作は（x _，0，?）の席対称群に属さない．（x _，0，?）を固定する操作は以下のとおりである．? 1 0 0 0??x?? x?? 1? ??? ? ? ?( I) ? 0 1 0 0??0?= ? 0?;( II)? 0??0 0 1 0??? ?????? 0? ? ? ? ?0100 0??x?? x???? ? ?0 0??0?= ? 0?1 1??? ?????? ? ? ?（I）は恒等操作，（II）は2回回転操作，その対称要素はz＝?を通るので2x，0，?という記号で表現する．この2つの操作は（x，0，0）と別の席対称群を形成するが，これも2という点群と同型群である．上記をまとめると下記の結論となる．（ア）席対称群は点群と同型の空間部分群である．（イ）同じワイコフ位置に属する原子位置の席対称群は同型の操作で形成される．その対称要素は平行であるが同一のものとは限らない．＊5＊5厳密にいうと同じワイコフ位置に属する位置の席対称群は共役群である．これに関しては今度の記事で詳しく説明する予定である．53